Étude d'une population d'hippopotames

On étudie l'évolution du nombre d'hippopotames dans un parc naturel, depuis l'année 2000.
Cette évolution est modélisée par une fonction \(f\) définie sur \([0\ ;+\infty[\) par \(f(t)=\displaystyle\frac{7\ 500}{1+749\text{e}^{-0,15t}}\) où \(t\) désigne le nombre d'années écoulées depuis l'année 2000.

1. Calculer le nombre d'hippopotames présents dans le parc en 2000.
2. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0\ ; +\infty[\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\). Interpréter le résultat.
    b. Déterminer au bout de combien de temps le nombre d'hippopotames dépasse \(1~000\).

Remarque
On retrouve ce type de fonction dans un modèle appelé « modèle de Verhulst ». Pierre-François Verhulst est un mathématicien belge du XIX^e siècle qui a travaillé sur la dynamique des populations.